Para esta demonstração, podemos partir do mesmo princípio utilizado para o cálculo do Volume da Esfera, envolvendo o conceito de integral definida. Podemos adotar o mesmo raciocínio para encontrarmos a função f (x) a ser integrada, alterando somente os limites de integração.
Primeiramente, vamos definir: Calota esférica é o sólido gerado a partir de uma esfera ao ser seccionada por um plano:
[Figura 1]
Desta forma, os limites de integração serão de r – h até r.
Para simplificar este desenvolvimento, vamos partir da função f (x), que foi originada da equação da circunferência de centro na origem:
Veja o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.
Vamos posicionar a figura 1 de outro modo, mais conveniente:
[Figura 2]
Suponha, agora, a calota esférica de altura h formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:
[Figura 3]
Sabemos que o volume do cilindro é dado por:
E, neste caso:
A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma a calota esférica, nos limites r – h e r. Então, o seu volume será dado por:
Substituímos a equação (1) na integral (3):
Integrando em relação a x, obtemos:
Aplicamos os limites:
Agora é somente álgebra:
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