Poliedros(Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler)

   Poliedros(Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler) 

 

01- FATEC/SP Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Do enunciado, sabemos que

Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:

3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12

2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6

4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20

Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção:As faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A

V + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9  ► V =  12.

02.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

V + 8 = 12 + 2

 V = 6

 

03.Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Solução:

Número de arestas 18 arestas

2 faces triangulares ►2 x 3 = 6

                              

3 faces quadrangulares ►3 x 4 = 12

Uma aresta é comum a 2 faces, então

2A = 18 ► A = 9.

Número de vértices:

V + F = A + 2 F = 2 + 3

V + 5 = 9 + 2 F = 5

V = 11 – 5   ►  V = 6

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