QUESTÕES DE CILINDRO

1 ) Uma indústria deseja fabricar um barril de óleo com formato cilíndrico cujo raio da base deve apresentar 40 cm de comprimento e sua altura será de 1,2 m. Para fabricação desse barril, a indústria utilizará chapas metálicas. Quantos metros quadrados de chapa serão necessários para fabricar um barril? (Use π = 3,14)

Solução: 

A resolução desse problema consiste em determinar a área total desse barril, que apresenta o formato de um cilindro. Do enunciado do problema, obtemos:

h = 1,2 m

r = 40 cm = 0,4 m

St = ?

Pela fórmula da área total, temos que:

St = 2∙π∙r∙(h + r)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ (1,2 + 0,4)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ 1,6

St = 4,02 m2

Portanto, serão gastos, aproximadamente, 4,02 metros quadrados de chapa metálica para confeccionar um barril.

2 ) (USF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 20π cm³, tem altura de 5cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é igual a:

a)10π

b)12π

c)15π

d)18π

e)20π

Solução:

Na questão, podemos obter o raio do cilindro dessa forma:

Vcilindro = πR². h

Como a questão fornece o volume e a altura:

20π=πR².5

π dos dois lados podemos cortar, ficando:

20=5R²

R²=4

R=2

Tendo o raio, temos tudo, basta encontrar a área lateral:

Alateral = 2πrh

Alateral=2π2.5

Alateral=2π10

Alateral=20πcm³

3 ) Um reservatório em formato cilíndrico possui 6 metros de altura e raio da base igual a 2 metros. Determine o volume e a capacidade desse reservatório.

Solução:

V = π * r² * h
V = 3,14 * 2² * 6
V = 3,14 * 4 * 6
V = 75,36 m³
Temos que 1m³ corresponde a 1 000 litros, então 75,36 m³ é equivalente a 75 360 litros.
Volume do cilindro = 75,36 m³ (metros cúbicos)
Capacidade do cilindro = 75 360 litros

Geometria Espacial

 Áreas

      Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L)

     Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

   Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões:

AL=2∙π∙r∙h

b) área da base ( A_B):área do círculo de raio Ab= π∙r²

c) área total ( A_T): soma da área lateral com as áreas das bases At=2∙π∙r∙(h+r)

 Volume

      Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

       Dados dois sólidos com mesma altura e um plano, se todo plano, paralelo ao plano, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

V=AB.H

Exemplo de Cilindro

Cilindro ops necessário para um melhor desempenho da impressora.

copo no formato de cilindro.

Extintor  

Cilindro que pode ser abordados em questões de volume.

Relação de Euler #TireiDezEmMatematica

              Você sabia que a Relação de Euler, é conhecida como a fórmula do Amor?
Assista ao vídeo e fique sabendo mais sobre isso...

 

Apresentação do GRUPO PRISMAS

Apresentação realizada dia 09/09/2016

Tronco de pirâmide

Tronco de pirâmide reta

Na figura, temos uma pirâmide quadrada de vértice O e altura h. Temos ainda um plano superior que corta a pirâmide maior formando uma pirâmide menor de vértice O e altura h’. Abaixo dessa pirâmide menor, com o corte realizado pelo plano paralelo a base da pirâmide maior, surge uma nova figura AA’BB’CC’DD’. Essa figura é o tronco da pirâmide ABÔCD.

Vejamos alguns destaques relacionados ao troco de pirâmide:

• A região poligonal ABCD é a base maior.
• A região poligonal A’B’C’D’ é a base menor.
• Os trapézios ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’ e DAA’D’ são as faces laterais.
• H_t é a altura e corresponde a distância entre a base maior e a menor.

Para se obter um tronco regular, deve-se partir de uma pirâmide regular cujas bases sejam polígonos regulares semelhantes e as faces sejam trapézios isósceles congruentes. Nesse caso, a altura de uma face lateral é chamada apótema do tronco.

Em que l₁ é a base menor, l_2, a base maior e a o apótema.

Área da superfície lateral

Seguem algumas considerações relativas a área da superfície do tronco de pirâmide reta:

• A área da superfície lateral de um tronco de pirâmide corresponde a soma das áreas de todas as faces desse tronco. A área desta superfície é a Área Lateral do Tronco (A_l).
• A área da base maior corresponde a área do polígono que forma esta base (A_B) e a área da base menor, da mesma forma, corresponde a área do polígono que a forma (A_b).
• A área total (A_t) é adquirida pela soma da área lateral (A_l) com as áreas das bases maior (A_B) e menor (A_b).

A_{t =} A_l + A_b +A_B

“A área toda é igual a soma das áreas lateral, menor e maior”.

Como a área total é dada pela soma da área lateral com as áreas das bases maior e menor, temos, a partir de um tronco de pirâmide hexagonal, por exemplo, o seguinte:

OBSERVAÇÃO: l₁ e l₂ correspondem a base menor e maior, respectivamente, dos trapézios (faces) laterais do tronco.

Volume

Podemos encontrar o volume de um tronco de pirâmide reta através da fórmula a seguir:

“O volume do tronco é igual a altura do tronco divida por três, multiplicada pela raiz quadrada do produto da base menor pela maior, mais a área da base menor, mais a área da base maior”.

• V_tronco: Volume do Tronco
• H_t: Altura do Tronco
• A_b: Área da Base Menor
• A_B: Área da Base Maior

Últimas considerações

O presente trabalho mostrou, teórica e conceitualmente, considerações sobre o tronco de pirâmide reta – aquele formada, nas bases, por polígonos regulares semelhantes e nas laterais por trapézios isósceles congruentes. Em trabalho posterior fornecerei ao leitor exercícios sobre essa temática a fim de proporcionar a aplicação dos conceitos adquiridos neste artigo. Porém, a matemática deve ser compreendida em solo abstrato e num contexto bastante amplo sendo, desta forma, possível a sua aplicação em quaisquer que seja a situação que lhe cobre conhecimentos especificamente matemáticos.

http://www.infoescola.com/geometria-espacial/tronco-de-piramide/