quarta-feira, 17 de agosto de 2016
VOLUME DA PIRAMIDE
Dado um polígono contido num plano e um ponto V fora desse plano, define-se pirâmide como sendo a reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V é chamado de vértice da pirâmide.
As pirâmides são classificadas de acordo com a forma de sua base. Além do vértice da pirâmide podemos destacar outros elementos importantes como: a altura, o apótema, a superfície lateral e, claro, a base.
O volume de uma pirâmide é dado em função da área de sua base e da altura h, de acordo com a fórmula abaixo:
Onde
V → é o volume
Ab → é a área da base da pirâmide
h → é a altura da pirâmide
Exemplo 1. Calcule o volume da pirâmide de base quadrada a seguir:
V → é o volume
Ab → é a área da base da pirâmide
h → é a altura da pirâmide
Exemplo 1. Calcule o volume da pirâmide de base quadrada a seguir:
Solução: Pela análise da figura, temos que:
h = 9 cm
Ab = 62 = 36 cm2
Assim, o volume da pirâmide será dado por:
h = 9 cm
Ab = 62 = 36 cm2
Assim, o volume da pirâmide será dado por:
Exemplo 2. Calcule o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que cada aresta da base mede 8 cm.
Solução: Primeiro, vamos calcular a área da base dessa pirâmide. Sabemos que a base da pirâmide é um hexágono regular de 8 cm de aresta. A área do hexágono regular é dada por:
Conhecida a medida da área da base da pirâmide, podemos utilizar a fórmula do volume.
segunda-feira, 15 de agosto de 2016
Poliedros de Kepler-Poinsot
https://www.google.com.br/search?q=poliedros+resumo&biw=1366&bih=657&source=lnms&tbm=isch&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwiHyfzhwsTOAhXCjJAKHQvUAXwQ_AUIBigB#imgrc=s5MinnwRiUtlVM%3A
domingo, 14 de agosto de 2016
Volume de uma Calota Esfèrica
Para esta demonstração, podemos partir do mesmo princípio utilizado para o cálculo do Volume da Esfera, envolvendo o conceito de integral definida. Podemos adotar o mesmo raciocínio para encontrarmos a função f (x) a ser integrada, alterando somente os limites de integração.
Primeiramente, vamos definir: Calota esférica é o sólido gerado a partir de uma esfera ao ser seccionada por um plano:
[Figura 1]
Desta forma, os limites de integração serão de r – h até r.
Para simplificar este desenvolvimento, vamos partir da função f (x), que foi originada da equação da circunferência de centro na origem:
Veja o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.
Vamos posicionar a figura 1 de outro modo, mais conveniente:
[Figura 2]
Suponha, agora, a calota esférica de altura h formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:
[Figura 3]
Sabemos que o volume do cilindro é dado por:
E, neste caso:
A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma a calota esférica, nos limites r – h e r. Então, o seu volume será dado por:
Substituímos a equação (1) na integral (3):
Integrando em relação a x, obtemos:
Aplicamos os limites:
Agora é somente álgebra:
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